Il fondamento teorico
Prima che abbia luogo qualsiasi calcolo, dobbiamo assicurarci che la nostra ricerca non sia vanificata. Iniziamo con il Problema ai valori iniziali (IVP):
$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
Teorema 2.4.2 afferma che esiste una soluzione unica $y = \phi(t)$ del problema dato in un certo intervallo intorno a $t_0$. Questa garanzia giustifica il nostro approccio numerico; se non esiste alcuna soluzione o se essa non è unica, gli algoritmi potrebbero convergere a risultati privi di senso o divergere completamente.
Il ponte integrale
Quasi tutti i metodi numerici condividono lo stesso DNA matematico, derivato dal Teorema fondamentale del calcolo. Possiamo esprimere l'evoluzione della soluzione $\phi(t)$ da un punto all'altro come un'identità esatta:
$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$
Sostituendo l'equazione differenziale $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$, otteniamo la Formula di ricostruzione:
$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$
Dal continuo al discreto
Un computer non può valutare l'integrale di una funzione sconosciuta $\phi(t)$. Pertanto, noi discretizziamo. Nel caso più semplice, approssimiamo l'area sotto $f(t, \phi(t))$ come un rettangolo con larghezza $h = t_{n+1} - t_n$ e altezza presa nel punto iniziale $f(t_n, y_n)$. Questo salto dall'integrale curvilineo a un rettangolo ombreggiato (come mostrato nella Figura 8.1.1) crea la formula di Eulero:
$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$
Qui, $y_n$ rappresenta l'approssimazione numerica del valore vero $\phi(t_n)$. L'errore introdotto da questa approssimazione rettangolare è noto come errore locale di troncamento.